Alles, was nicht direkt vom Mieter zu benutzen bzw. zu bedienen ist, fällt unter die Verantwortung des Vermieters. Wenn z. B. ein Lichtschalter oder eine Türklinke kaputt geht, muss der Mieter dafür aufkommen, aber wenn es die Verkabelung, Rohre in der Wand usw. betrifft, dann ist der Vermieter zuständig. Für eine alte Elektroinstallation gilt zwar Bestandsschutz, aber wie gesagt, wenn die Wohnung einmal grundlegend renoviert werden sollte, muss der Vermieter auch die Kabel erneuern.
Du kannst die Leitung theoretisch zwar mit einem Phasenprüfer testen, aber ich brauche hoffentlich nicht zu sagen, dass man dabei sehr vorsichtig sein muss, weil diese Prüfer zum einen nicht sehr zuverlässig sind, und zum anderen rutscht man beim Hantieren an der Decke schnell ab, anstatt des zweiten Kabels bist Du evtl. der Rückweg des Stromkreises, und das ist lebensgefährlich. Besser wäre ein richtiger zweipoliger Spannungsprüfer, da ist wie gesagt der Elektriker der richtige Ansprechpartner.
Wenn Du von der jetzigen Lampe weißt, wo der braune Draht angeschlossen war, dann wird das wohl die Phase sein, die verbindest Du über den braunen Draht im Kronleuchterkabel mit den beiden braunen Drähten in der Leuchte, und den hellbraunen Draht dort verbindest Du über den blauen Draht mit dem anderen Draht vom Deckenauslass. Den gelb-grünen Draht musst Du mangels passender Verkabelung unbelegt lassen (alle Angaben natürlich ohne Gewähr...).